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名师精讲
考点一 空间几何体
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考点一 空间几何体
例1 选择题：
(1)(泰州市泰州中学附属初中期末)如图，下列四个几何体中，它们各自从三个不同方向看得到的图形有两个相同，而另一个不同的几何体是( )
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
(2)(宁波市中考)下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是( )
解析：(1)通过观察几何体，可以得到从三个方向看所得的图形，找出其中只有两个相同，另一个不同的几何体．正方体的三视图均为正方形；圆柱的三视图为两个长方形和一个圆；圆锥的三视图为两个三角形和一个圆；球的三视图均为圆．故选B.
(2)严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．A项，图剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B项，图剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C项，图剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D项，图剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意．故选C.
答案：(1)B (2)C
点评：(1)由图得出每个图从不同方向所看得到的图形，再按条件得出答案；(2)做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
考点二 直线、射线、线段
例2 (苏州市青云中学期末)在直线l上任取一点A，截取AB＝16 cm，再截取AC＝40 cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．
答案：①当C在AB的延长线上时，如图．
因为D是AB的中点，AB＝16 cm，所以AD＝2＝2×16＝8(cm)．
因为E是AC的中点，AC＝40 cm，所以AE＝2AC＝2×40＝20(cm)．
所以DE＝AE－AD＝20－8＝12(cm)；
②当C在BA的延长线上时，如图．
由①知AD＝8 cm，AE＝20 cm.
所以DE＝AE＋AD＝20＋8＝28(cm)．
所以D点与E点的距离是12 cm或28 cm.
点评：对于线段的和、差关系以及线段的中点问题的计算，需结合图形，认真观察分析．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．
考点三 角的计算
例3 填空：
(1)(镇江市天王中学期末)把15°30′化成度的形式，则15°30′＝________；
(2)(常熟市外国语学校期末)一个角是25°42′，则它的余角为________．
解析：(1)将30′化成度数即可，因为30′＝0.5°，所以15°30′＝15.5°；(2)利用余角定义计算得之，即余角为90°－25°42′＝64°18′.
答案：(1)15.5° (2)64°18′
例4 (泰州市第二中学附属初中期末)已知∠A和∠B互为余角，∠A与∠C互为补角，∠B和∠C的和等于周角的3.求∠A＋∠B＋∠C的度数．
解析：设∠A＝x，再根据条件用含x的代数式表示∠B和∠C，从而列出方程求解即可，这是几何计算题的通法．
答案：设∠A＝x，依题意∠B＝90°－x，∠C＝180°－x.
由∠B和∠C的和等于周角的3，得(90°－x)＋(180°－x)＝3×360°.
解得x＝75°，所以∠B＝90°－x＝15°，∠C＝180°－x＝105°，
所以∠A＋∠B＋∠C＝75°＋15°＋105°＝195°.
点评：巧用方程求解余角、补角问题时，应注意：①正确设未知数并用含所设未知数的式子表示出相关的量：一般设某个角为x，根据余角、补角定义，则这个角的余角为90°－x，这个角的补角为180°－x；②依据已知条件，寻找出正确的相等关系，列出方程．
考点四 相交线与垂线
例5 (泰州市泰州中学附属初中期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是( )
A. ∠2＝45° B. ∠1＝∠3
C. ∠AOD与∠1互为补角 D. ∠1的余角等于75°30′
解析：利用两直线互相垂直的性质得∠2＝2∠AOE＝45°，故A正确；根据对顶角性质，则B正确；根据邻补角定义，则C正确；根据互为余角的定义知90°－∠1＝90°－15°30′＝74°30′，故D不正确．故选D.
答案：D
点评：有关图形中的角的计算问题，首先要从图形中读出具有度量关系的角，如互余、互补、对顶角等，然后合理利用相关的定义、性质求解．
例6 (盐城市阜宁县期末)如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝40°，OA平分∠COE，则∠AOE＝________.
解析：根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义解答．
因为∠BOD＝40°，所以∠AOC＝∠BOD＝40°.因为OA平分∠COE，所以∠AOE＝∠AOC＝40°.故答案为40°.
答案：40°
点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
考点五 几何图形的实际应用
例7 (镇江市枫叶国际学校期末)如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其从正面看得到的图与从侧面看得到的图均由长方形构成，从正面看得到的图中大长方形边长如图所示，从侧面看得到的图中包含两个相同的长方形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为( )
A. 320 cm B. 395.24 cm C. 431.76 cm D. 480 cm
解析：从条件可知，侧面的每条胶带的长均为20 cm，其和为120 cm；上下面的每条胶带的长均小于60 cm，但大于50 cm，其和小于360 cm且大于300 cm，所以胶带总长在420 cm与480 cm之间，故选C.
答案：C
点评：本题考查几何体从不同的方向看得到的图形及正多边形的有关计算，解题时要根据视图中的数据计算几何体中的相关内容．
考点六 数学思想与方法
例8 (江阴市射阳县期末)小明在看书时发现这样一个问题： “ 在某次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手？” 小明通过认真思考得出了答案，为了解决更一般的问题，小明设计了下列图表进行探究：
请你在上表右下角的横线上填上你归纳出的一般结论．
(3)与此类比可得有关角的计数结论．
点评：本题蕴含数形结合、归纳猜想等数学思想，将握手问题转化为研究直线上的点构成线段的条数问题. 这里，视一个人为直线上的一个点，通过仔细观察图表，探究推理可得问题的答案．
例8 (苏州市张家港市期末)如图，直线l上有A，B两点，AB＝12 cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB.
(1)OA＝________cm，OB＝________cm；
(2)若点C是线段AB上一点，且满足AC＝CO＋CB，求CO的长；
(3)若动点P，Q分别从点A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2 cm/s，点Q的速度为1 cm/s，设运动时间为t s．当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP－OQ＝4?
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3 cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以3 cm/s的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以3 cm/s的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程是多少？
解析：第(1)题，根据条件直接求解；第(2)题，因为点C的位置不确定，故需要分类讨论，即考虑点C在线段AO上或在线段OB上；第(3)题，用含t的代数式表示OP与OQ的长度，但也要分类讨论，从而根据条件列方程，解之即可解决第①题；第②题属于行程类应用题，先求时间，再求路程．
答案：(1)8 4
(2)设CO＝x cm.
当点C在线段AO上时(如图1)，
图1则AC＝(8－x)cm，CB＝(4＋x)cm.
由AC＝CO＋CB，得8－x＝x＋4＋x，解得x＝3；
当点C的线段OB上时(如图2)，
图2则AC＝(8＋x)cm，CB＝(4－x)cm.
由AC＝CO＋CB，得8＋x＝x＋4－x，解得x＝－4(舍去)．
综上所述，CO的长为3 cm.
(3)①当点P在点O的左侧时(如图3)，
图3则OP＝(8－2t)cm，OQ＝(4＋t)cm.
由2(8－2t)－(4＋t)＝4，解得t＝5；
当点P在点O的右侧时(如图4)，
图4则OP＝(2t－8)cm，OQ＝(4＋t)cm.
由2(2t－8)－(4＋t)＝4，解得t＝8.
综上所述，当t＝5或t＝8时，2OP－OQ＝4.
②AO＝8 cm，点P从点A运动到点O的时间t＝8÷2＝4(s)，则点M运动的时间为：(4＋4×1)÷(2－1)＝8(s)，因此点M运动的总路程为3×8＝24(cm)．
点评：有关几何计算题，主要利用方程思想求解长度或角度，当含有位置关系时，需进行分类讨论．
例9 (北京市中考)
如图，∠DOE＝50°，OD平分∠AOC，∠AOC＝60°，OE平分∠BOC.
(1)用直尺、量角器画出射线OA，OB，OC的准确位置；
(2)求∠BOC的度数，要求写出计算过程；
(3)当∠DOE＝α，∠AOC＝2β时(其中0°<β<α，0°<α＋β<90°)，用α，β的代数式表示∠BOC的度数．(直接写出结果即可)
解析：本题含有分类讨论的数学思想，因角是由两条公共端点的射线组成的，而射线的位置没有确定，故需考虑射线OA，OB，OC的不同位置情形．
答案：(1)①当射线OA在∠DOE外部时，射线OA，OB，OC的位置如图1所示.
②当射线OA在∠DOE内部时，射线OA，OB，OC的位置如图2所示．
(2)①当射线OA在∠DOE外部时，此时射线OC在∠DOE内部，射线OA，OD，OC，OE，OB依次排列，如图1.
因为OD平分∠AOC，∠AOC＝60°，所以∠DOC＝
∠AOC＝30°.因为此时射线OA，OD，OC，OE，OB依次排列，所以∠DOE＝∠DOC＋∠COE.
因为∠DOE＝50°，所以∠COE＝∠DOE－∠DOC＝50°－30°＝20°.
因为OE平分∠BOC，所以∠BOC＝2∠COE＝2×20°＝40°；
②当射线OA在∠DOE内部时，此时射线OC在∠DOE外部，射线OC，OD，OA，OE，OB依次排列，如图2.
因为OD平分∠AOC，∠AOC＝60°，所以∠COD＝
∠AOC＝30°.因为此时射线OC，OD，OA，OE，OB依次排列，∠DOE＝50°，所以∠COE＝∠COD＋∠DOE＝30°＋50°＝80°.
因为OE平分∠BOC，所以∠BOC＝2∠COE＝2×80°＝160°.
(3)当射线OA在∠DOE外部时，∠BOC＝2α－2β；当射线OA在∠DOE内部时，∠BOC＝2α＋2β.
点评：分类讨论是重要的数学思想，在中学数学的各个知识点，均有可能出现，必须引起重视．
临门一脚
本章内容包括立体图形与平面图形两部分内容，从“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程，培养空间想象能力和逻辑推理能力，通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要说出理由，把它作为通过实验探究得到结论的自然延续．在说理时，必须注意“理”有根有据，即必须根据教材所给的重要结论来说明道理．在线段与角的相关计算与证明中，还要注意方程思想与分类讨论思想的应用．
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