函数的图像
一、 重点知识及常用结论
1. 函数图像的变换
(1)平移变换
①y=f(x)→y=f(x±a)(a>0)——左“+”右“-”;
②y=f(x)→y=f(x)±k(k>0)——上“+”下“-”.
(2)伸缩变换
①y=f(x)→y=f(ωx)(ω>0)——纵坐标不变,横坐标伸长或缩短为原来的
倍;
②y=f(x)→y=Af(x)(A>0)——横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍.
(3)对称变换
①y=f(x)关于点(0,0)对称的函数为y=-f(-x);
② y=f(x)关于直线y=0对称的函数为y=-f(x);
③y=f(x)关于直线x=0对称的函数为y=f(-x).
(4)翻转变换
①y=f(x)→y=f(|x|)——右不动,右向左翻(f(x)在y轴左侧图像去掉);
② y=f(x)→y=|f(x)|——上不动,下向上翻(|f(x)|在x轴下面无图像).
2. “对勾”函数y=ax+(a>0,b>0)的图像关于原点对称,如图:
 
由图像知,函数的单调递增区间为,,单调递减区间为,.
二、 典型例题及易错题型
函数的图像是高考的热点内容,常以几类基本初等函数的图像为基础,考查作图、识图、用图的能力,作图即能应用所学的知识作出相关函数的图像;识图即能从函数的图像中识别相关的信息,了解函数的性质;用图即能用数形结合的方法来研究问题,起到以“形”辅“数”的作用.
例1　(山西实验中学、南海桂城中学联考)函数f(x)=的图像大致是 (　　)
A　　　B　　　C　　　D
答案:C　解析:x>0时,-x<0,f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数.当0<x<1时,f(x)<0.故选C.
　　方法突破:辨识函数图像的步骤:
①由定义域辨左右,值域辨上下;
②由奇偶辨对称;
③由特值辨位置;
④由升降辨单调;
⑤由循环辨周期.
例2　(山东泰安期中)已知函数f(x)=(a>0且a≠1).若函数f(x)的图像上有且只有两个点关于y轴对称,则实数a的取值范围是 (　　)
A. (0,1) B. (1,4)
C. (0,1)∪(1,+∞) D. (0,1)∪(1,4)
答案:D　解析:函数y=|x+3|(-4≤x<0)的图像关于y轴对称的图像对应的函数为y=|x-3|(0<x≤4).由题设知函数y=logax的图像与函数y=|x-3|(0<x≤4)的图像有且只有一个交点,数形结合,当0<a<1时,满足条件;当a>1时,则loga4>1,即1<a<4.综上a的取值范围是(0,1)∪(1,4),故选D.
　　方法突破:函数的图像可直观地反映图像的交点个数,以及函数值的大小关系等,因此,对于涉及方程的解的个数或不等式的问题,可利用函数的图像来处理,将方程的解的个数看成“一静一动”两个函数图像的交点个数来解决,将不等式理解为两个函数图像的上下关系来处理。